三角函数基本概念 | 玄数

2011-12-22

1.    在直角三角形ABC中,∠C = 90o

trigonometric function

  • 正弦(Sine):sinA = ∠A的对边斜边的比
  • 余弦(Cosine) :cosA = ∠A的邻边斜边的比
  • 正切(Tangent):tanA = ∠A的对边与邻边的比
  • sin2A + cos2A =  1


 

2.  在单位圆(Unit Circle)中,任意角 α 的三角函数(Trigonometric Function)

trigonometric unit Circle

在相似三角形 Rt△ABC 与 Rt△AB′C′ 中,对于∠A,对边与斜边的比是一致的,邻边与斜边的比也是一致的。所以我们力求简单与方便计算,设定斜边为1,单位圆刚好能满足这个条件。

  • 圆的圆心与直角坐标系的原点重合,圆的半径 r = 1,圆周上任意一点的坐标为(x, y)
  • 自变量为角 α
  • 函数是圆周上的坐标,或坐标和坐标的比值:sin α = y,cos α = x,tan α = y / x (x≠0)

 

3.   三角函数在各个象限的取值

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴 y轴
sin α >0 >0 <0 <0 0 ±1
cos α >0 <0 <0 >0 ±1 0
tan α >0 <0 >0 <0 0  /

 

4.   三角函数线

trigonometric function

图中的三条彩色线段 MP、OM、AT,分别叫正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线

 

5. 正割和余割

  • 正割sec是余弦的倒数:sec α = 1/cos α
  • 余割csc是正弦的倒数:csc α = 1/sin α

 

6. 单位圆内三角函数全图

单位园内三角函数

 

 

练习:

1. α、β都是大于0°且小于180°的角,那么下面命题中正确的是( )
( A ) 若sinα = sinβ, 则∠α = ∠β
( B ) 若sinα = cosβ, 则∠α + ∠β = 90°
( C ) 若cosα = cosβ, 则∠α = ∠β
( D ) 若∠α ≠ ∠β, 则sinα ≠ sinβ

 
2. 在△ABC中,如果sinA·sinB ≤ 0, 那么,这个三角形是( )
( A ) 锐角三角形
( B ) 非锐角三角形
( C ) 钝角三角形
( D ) 非钝角三角形

 
3. α是锐角,下面结论中正确的是( )
( A ) cosα < ctgα ( B ) cosα = sinα ( C ) cosα > ctgα
( D ) cosα、 ctgα的大小关系不能确定

 
4. α是锐角,tgα = 2sinα,则sinα =        , ctgα =        .

 
5. △AOB是等腰直角三角形,其中O为坐标原点, A(0, -2). 求点B的坐标.

 

 

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