向量的运算 | 玄数

2012-05-08

1.   向量的线性运算

(1)平行四边形法则:作一平行四边形OACB,使→OA = a,→OB = b,对角线→OC就是ab的和。
vector addition
(2)加法三角形法则: a + b = →OA + →AB = →OB
vector addition
第二个向量的始点与第一个向量的终点重合,和就是第一个向量的始点指向第二个向量的终点。
vector addition
n个向量相加:第i个向量的始点与第 i – 1 向量的终点重合,和就是第一个向量的始点指向第n个向量的终点。

vector addition

| a + b | ≤ | a | + | b |

a + b = b + a

a + b)+ c = a +(b + c

 

 

2.   向量减法运算

a长度相等,方向相反的向量叫做 a 的相反向量,记作 – a

–(– a)= a

a +(– a) = 0

ab = a +(– b

vector subtraction
始点重合,减数b的终点指向被减数a的终点。

 

 

3.   向量的数乘(Multiplication of Vector by Scalar / Scalar Multiplication)

实数λ 与向量 a 的积仍是一个向量,记作λa
multiplication of vector by scalar
(1)| λa | = | λ | | a |

(2)当λ > 0时,λa 的方向与a的方向相同;当λ < 0时,λa 的方向与a的方向相反

 

设λ、μ 为实数,

λ(μa)= (λμ)a

(λ + μ)a = λa + μa

λ(a + b)= λa + λb

λ(μ1a2b)=λμ1a + λμ2b

 

定理:向量 ab共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 b = λa

 

 

4.  加法的逆运算 ——正交分解

既然两个向量可以合成一个新的向量,那么任何一个向量都可以分解成两个或者多个向量。

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使得

a = λ1e+ λ2e2

我们把不共线的向量e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(Base)
vector orthogonal decomposition
把一个向量分解为两个互相垂直的分量,叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系中,分别取以x轴、y轴方向相同的两个单位向量ij作为基底,对平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、y,使得

a = xi + yj

所以向量a的坐标表示为 a =(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标。i =(1,0),j =(0,1)。

 

 

5.   平面向量的坐标运算

a =(x1,y1), b =(x2,y2

a + b =(x1i + y1 j)+(x2i + y2 j

      =(x1 + x2i +(y1 + y2j

a + b =(x1 + x2,y1 + y2

ab =(x1 – x2,y1 – y2

λa =(λx1,λy1

 

 

 

6.   空间向量的正交分解

ijk是空间三个两两垂直的向量,且有公共点O,对于空间任意一个向量r,存在一个有序实数组 {x,y,z},使得

r = xi + yj + zk

此时也可表示为 r =(x,y,z)

 

 

7.   空间向量的坐标运算

a =(x1,y1,z1), b =(x2,y2,z2

a + b =(x1i + y1 j + z1k)+(x2i + y2 j + z2k

           =(x1 + x2i +(y1 + y2j +(z1 + z2k

a + b =(x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2

ab =(x1 – x2,y1 – y2,z1 – z2

向量的运算