速度、加速度、位移 | 玄数

2012-04-27

1.  速度(Velocity)

Velocity

(1)时间相同,位移不同:

  • 质点m1从点A运动到点B,在 t = 1s 的时间内,通过的位移是10m;
  • 质点m2从点C运动到点D,在 t = 1s 的时间内,通过的位移是5m

(2)位移相同,时间不同:

  • 要通过距离为s的位移,质点m1所花的时间是 5s;质点m2所花的时间是 10s

 

为什么在相同的时间内,质点经过的位移却不同?或者问,要通过相同的位移,为什么花的时间不一样?时间和位移是什么样的关系?

无论(1)还是(2),你都能看出质点m1比质点m2要运动得快。现在,引入一个物理名词 —— 速度,来描述物体运动的快慢,它是位移与时间的比值

Average Velocity

这个式子表示在时间间隔△t内,物体运动的平均快慢程度,称为平均速度(Average Velocity)。

 

 

2.  瞬时速度(Instantaneous Velocity)

平均速度只能粗略地反映物体运动的快慢,但不精确。比如说,质点m在t = 10s 的时间内,通过的位移s = 60m,那么它在这10s内的平均速度是60m / 10s = 6 m/s。

Instantaneous Velocity

但它在各点处的速度却不一样,在始点A的速度是0,第1秒在B点速度是5 m/s,第3秒在C点速度是10m/s,第6秒在D点速度是7 m/s。

 

我们把物体在某一个具体时刻的速度,叫做瞬时速度。那么具体时刻又是怎么定义的呢?
Instantaneous Velocity

质点从点A运动到点B,在时间t = 1s内,通过的位移是10m,那么它在这1s内的平均速度是10m/s;如果把时间缩短为0.1s,测出它经过位移是1.2m,那么质点在这0.1s内的平均速度是12m/s;要是再把时间t缩为0.01s,经过了0.09m的位移,我们就知道它在这0.01s内的平均速度是9m/s。

已经是0.01s了,还能更小吗?—— 可以,就让 △t→0,这时质点的速度也就无限的接近A点的速度。

分子 lim△t = 0?不就是导数吗?是的。

Instantaneous Velocity

虽然在△t→0这一瞬间极其短暂的时间内位移△s不易测出,但这是数学对瞬时速度下的精确又美妙的定义。

 

既然明白了速度是位移对时间的导数,也就不难理解位移是速度在时间t内地积分:

速度是位移对时间的导数

建立坐标系,速度v (t) 是图中的曲线,位移s (t) 就是曲线v (t)、直线t两坐标轴围成的曲边梯形的面积。当时间t不从0开始,而是从t0开始时,曲边梯形中的v轴改为直线t0

 

 

3.  加速度(Acceleration)

既然知道:积分——面积,你也会想到:导数——切线斜率。如图,

Acceleration

  • A点的切线斜率kA > 0,A到B之间的速度是上升的;
  • 到了点B,速度达到最大值,此时的切线斜率kB = 0;
  • 而在B到C这段时间的速度是下降的,整段时间中v的切线斜率都小于0。

 

那么,速度的切线斜率到底是什么呢?我们把它叫做加速度,加速度是速度对时间的导数:

Acceleration

它是速度的变化量与时间的比值,用来描述速度变化的快慢。

Acceleration

(1)时间相同,初速度不同:

  • 质点m1从点A运动到点B,初速度是10m/s,在t = 1s时停下
  • 质点m2从点C运动到点D,初速度是5m/s,在t = 1s时停下

(2)初速度相同,时间不同:

  • 初速度都是10m/s,若干时间后停下,质点m1所花的时间是5s;质点m2所花的时间是10s。

 

无论(1)还是(2),你都能知道质点m1比质点m2的速度改变得快。加速度又是由什么产生的呢?—— 作用力。若干个力共同作用于一个物体,这若干个力等效于一个合力,它使物体有了加速度,而加速度又改变物体运动的速度。想象一下,汽车本来是静止的,相当于速度为0,你踩一下阀门,发动机便会产生推力,这个力又会跟地面的摩擦力综合作用得到一个合力,也便有了加速度a,它能使v大于0,于是汽车便启动了。如果从某一时刻开始,合力为0,汽车便作匀速直线运动

 

速度与加速度都是矢量,都有方向:当a与v的方向一致时,v↑;当a与v的方向喜爱那个发致时,v↓。如上图,A到B的切线斜率都大于0,也即a>0,所以v↑;B到C的切线斜率都小于0,也即a<0,所以v↑。

 

这就是数学中的微积分对物理中的速度、加速度、位移的解释。

 

 

4.  总结

  • 速度是位移对时间的导数,位移是速度在时间上的积分
  • 加速度是速度对时间的导数,速度是加速度在时间上的积分
  • 加速度是位移对时间的二次导数

速度、加速度、位移