历年数学高考大题 —— 综合题 | 玄数

2013-05-07

2015年陕西卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分12分)

设fn(x)是等比数列,x,x2,…,xn的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.

证明:函数Fn(x) = fn(x) – 2在(1/2, 1)内有且仅有一个零点(记为xn),且2015年陕西卷(理)

设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)与gn(x)的大小,并加以证明.

 

 

2014年上海卷(理)—— 三、解答题:22.(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1, y1), P2(x2, y2)记η=( ax1+by1+c)( ax2+by2+c). 若η<0,则称点P1, P2被直线l分隔。若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1, P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.

⑴ 求证:点A(1, 2), B(-1, 0) 被直线x+y-1=0分隔;

⑵ 若直线y=kx是曲线x2 – 4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;

⑶ 动点M到点Q(0, 2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分割线.

 

 

2013年福建卷(理)—— 三、解答题:20.(本小题满分14分)

已知函数f (x) = sin(ωx+φ)  (ω>0,  0<φ<π) 的周期为π,图像的一个对称中心为(π/4, 0),将函数f (x)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移π/2个单位长度后得到函数g(x)的图像.

(1)求函数f (x)与g(x)的解析式;

(2)是否存在x0∈(π/6, π/4),使得f (x0), g(x0), f (x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由.

(3)求实数a与正整数n,使得F(x)= f (x)+ag(x)在(0, nπ)内恰有2013个零点.

 

 

2012年陕西卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

设函数fn(x) = xn + bx + c ( n∈N+, b,c∈R ).

(Ⅰ)设n≥2,b=1, c=-1,证明:fn(x)在区间(1/2, 1)内存在唯一的零点;

(Ⅱ)设n=2,若对任意x1, x2∈[-1, 1],有| f2(x1)- f2(x2)|≤4,求b的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设xn是fn(x)在(1/2, 1)内的零点,判断数列x2, x3 … xn

 

 

2011年江西卷(理)—— 三、解答题:21.(本小题满分14分)

(1)如图,对于任一给定的四面体A1A2A3A4,找出依次排列的四个相互平行的平面 α1α2α3α4,使得Ai∈αi(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等;

(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1α2α3α4,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足:Ai∈αi(i=1,2,3,4),求该正四面体A1A2A3A4的体积.