1. 如上图所示，虽然同是增函数，但曲线的凹凸性是不同的，红色的曲线是向上凸的，而蓝色曲线则是向下凹的。如何来定义曲线的凹凸性呢？下图中，
在红色向上凸的曲线上任取两点A、B，连接AB所得的线段总是在曲线的下方
在蓝色向下凹的曲线上任取两点C、D，连接CD所得的线段总是在曲线的上方
用数学式子来解释：在函数 f (x) 的曲线上任取两点A和B，分别向x轴、y轴作垂线，得坐标 (a，f (a))、(b，f (b))，连接AB。在区间 [a，b] 内任取一点λa + (1 – λ)b，其中 0 < λ <1，通过这点做x轴的垂线，与f (x) 、线段AB相交。此点 f (x) 的函数值是 f (λa + (1 – λ)b)，而对于线段AB的纵坐标为 λf (a) + (1–λ) f (b)
- 在红色凸曲线中：f (λa + (1 – λ)b) > λf (a) + (1– λ) f (b)
- 在蓝色凹曲线中：f (λa + (1 – λ)b) < λf (a) + (1– λ) f (b)
反过来也成立：由不等式推出凹凸性。
我们把上面的式子简化一下，令λ = 1/2，即a 和b 的中点。设函数 f (x) 在区间I上连续，
如果对I上任意两点a、b，恒有
则称f (x) 在区间I上是凸函数（Concave Functions）。
如果对I上任意两点a，b，恒有
则称f (x) 在区间I上是凹函数（Convex Functions）。
2. 定理：设函数 f (x) 在 [a，b] 上连续，在 (a，b) 内具有一阶和二阶导数，那么
（1）如果在(a，b) 内f′′ (x) < 0，则f (x) 在区间I上是凸函数。
（2）如果在(a，b) 内f′′ (x) > 0，则f (x) 在区间I上是凹函数。
可以这么理解：把f (x) 的一阶导数f′ (x) 看成是一个新的函数，f′′ (x) < 0，说明f′ (x) 的斜率是不断减少的，而不断减少的斜率所形成的轨迹应该是向上凸的。而当f′′ (x) > 0时，说明f ′ (x) 的斜率是不断增加的，不断增加的斜率所形成的轨迹应该是向下凹的。
3. 拐点（Inflection Point）：使函数的凹凸性变化的点，此时f′′(x) = 0。
求函数的拐点：
（1）求f′′(x)
（2）解方程f′′(x) = 0的实数根，并求出f′′(x) 不存在的点
（3）对上述所求出的点，检查左右两侧f′′(x) 的符号，当符号相反时，才是拐点。
