函数的凹凸性 | 玄数

2012-04-13

凹凸性

1.   如上图所示,虽然同是增函数,但曲线的凹凸性是不同的,红色的曲线是向上凸的,而蓝色曲线则是向下凹的。如何来定义曲线的凹凸性呢?下图中,

在红色向上凸的曲线上任取两点A、B,连接AB所得的线段总是在曲线的下方

在蓝色向下凹的曲线上任取两点C、D,连接CD所得的线段总是在曲线的上方

concave convex

用数学式子来解释:在函数 f (x) 的曲线上任取两点A和B,分别向x轴、y轴作垂线,得坐标 (a,f (a))、(b,f (b)),连接AB。在区间 [a,b] 内任取一点λa + (1 – λ)b,其中 0 < λ <1,通过这点做x轴的垂线,与f (x) 、线段AB相交。此点 f (x) 的函数值是 f (λa + (1 – λ)b),而对于线段AB的纵坐标为 λf (a) + (1–λ) f (b)

  • 在红色凸曲线中:f (λa + (1 – λ)b) > λf (a) + (1– λ) f (b)
  • 在蓝色凹曲线中:f (λa + (1 – λ)b) < λf (a) + (1– λ) f (b)

反过来也成立:由不等式推出凹凸性。

 

我们把上面的式子简化一下,令λ = 1/2,即a 和b 的中点。设函数 f (x) 在区间I上连续,

如果对I上任意两点a、b,恒有

凸函数

则称f (x) 在区间I上是凸函数(Concave Functions)。

 

如果对I上任意两点a,b,恒有


则称f (x) 在区间I上是凹函数(Convex Functions)。

 

 

2.   定理:设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有一阶和二阶导数,那么

(1)如果在(a,b) 内f′′ (x) < 0,则f (x) 在区间I上是凸函数。

(2)如果在(a,b) 内f′′ (x) > 0,则f (x) 在区间I上是凹函数。

可以这么理解:把f (x) 的一阶导数f′ (x) 看成是一个新的函数,f′′ (x) < 0,说明f′ (x) 的斜率是不断减少的,而不断减少的斜率所形成的轨迹应该是向上凸的。而当f′′ (x) > 0时,说明f ′ (x) 的斜率是不断增加的,不断增加的斜率所形成的轨迹应该是向下凹的。

 

3.   拐点(Inflection Point):使函数的凹凸性变化的点,此时f′′(x) = 0。

求函数的拐点:

(1)求f′′(x)

(2)解方程f′′(x) = 0的实数根,并求出f′′(x) 不存在的点

(3)对上述所求出的点,检查左右两侧f′′(x) 的符号,当符号相反时,才是拐点。

函数的凹凸性