导数 | 玄数

2012-02-12

1.   从割线到切线

如上flash所示,函数f (x) 的图像是红色曲线,在曲线上取一点M,任意作一直线与曲线相交于另一点N,此时MN(紫色线)为割线,MN与x轴的夹角是∠φ。MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,也就是N越来越接近M —— 此时弦长 | MN | 趋于0,∠NMT也趋于0,那么直线MT就是曲线在点M的切线,MT与x轴的夹角是∠α。

 

切线MT的方程

设点M的坐标为(x0,y0),由点斜式可得:y – y0 = k (x – x0),现在研究斜率k怎么求。N(x,y)是曲线上任意一点,割线MN的斜率为

切线的斜率

当N沿曲线趋于M时,x→x0,φ→α。如果当时x→x0,上式的极限存在,设为k,即

切线的斜率

存在,此极限k就是割线斜率的极限,也就是切线的斜率

 

 

2.  导数(Derivative / Differentiation)的定义

上面研究曲线的切线是为了研究形如下面的极限:

导数   

它究竟是什么样的东西?

 

这里引入自变量的增量 △x 和函数的增量 △y:

△x = x – x0

△y = y – y0 = f (x) – f (x0) = f (x0 + △x) – f (x)
 

设函数 y = f (x) 在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量△x(点x0 +△x仍在该邻域内)时,相应的函数取得增量 △y = f (x0 + △x) – f (x)。如果 △y 与 △x 之比当△x→0(也就是x→x0的极限存在,则称函数 y = f (x) 在点x0可导,并称这个极限为点x0处的导数,记为f ‘ (x0),即

导数

也可记作

导数

称函数 y = f (x) 在点x0处可导,也可以说成f (x) 在点x0具有导数或导数存在。

导数的定义式还有其它的表示形式:

导数

 

 

3.   导函数

上面讲的是函数在一点处可导,如果函数 y = f (x) 在开区间I内的每一点处都可导,就称函数f (x) 在开区间I内可导。这时,对于任一x∈I,都对应着f (x)的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,这个函数就叫做原来函数f (x)的导函数,记作

导函数

把导数定义式中的x0换成x,即得导函数的定义式

导数

导函数简称导数,而 f ‘ (x0) 是 f (x0) 在 x的导数,或者说导数f ‘ (x) 在 x处的值。

 

 

4.  单侧导数

极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。函数f (x) 在点x0处可导的充分必要条件是左导数(Left Derivative)与右导数(Right Derivative)存在且相等。

左导数

left derivative

右导数

right derivative

 

左导数与右导数统称为单侧导数。