2012-04-13
1. 原函数
如果在区间I上,可导函数 F (x) 的导函数为 f (x),即
F′(x) = f (x) 或 dF (x) = f (x) dx
那么函数F (x) 就成为f (x)在区间I上的原函数。如:
- (x2) ′ = 2x,x2 是2x 的原函数
- (sin x) ′ = cos x,sin x是cos x 的原函数
- (ex) ′ = ex,ex 是ex 的原函数
原函数存在定理:如果函数f (x) 在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数 F (x),使对任一 x∈I 都有F′(x) = f (x)。也就是说:连续函数一定有原函数。
∵ 任意常数C的导数 (C) ′ = 0
∴ ( F (x) +C ) ′ = f (x)
2. 不定积分(Indefinite Integral)
在区间I上,函数f (x) 的带有任意常数项的原函数为 F (x) 在区间I上的不定积分,记作
∫ 称为积分号,f (x) 称为被积函数,f (x)dx称为被积表达式,x称为积分变量。
如:
- ∫ 2x dx = x2 + C
- ∫ cosx dx = sinx + C
- ∫ ex dx = ex + C
由于 ∫f (x)dx 是 f (x) 的原函数,所以
又由于F (x) ′是F (x) 的原函数,所以
函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线。
3. 不定积分的性质
(1)设函数f (x) 和g (x) 的原函数存在,则
(2)设函数f (x)的原函数存在,k≠0,则
练习:
1. 求下列不定积分
2. 一曲线通过点(e2, 3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线方程。
3. 一物体由静止开始运动,经过 t 秒后的速度是 3t2 (m/s),问
(1) 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完 360m 需要多少时间?
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