不定积分的概念与性质 | 玄数

2012-04-13

1.   原函数

如果在区间I上,可导函数 F (x) 的导函数为 f (x),即

F′(x) = f (x)  或 dF (x) = f (x) dx

那么函数F (x) 就成为f (x)在区间I上的原函数。如:

  • (x2) ′ = 2x,x2 是2x 的原函数
  • (sin x) ′ = cos x,sin x是cos x 的原函数
  • (ex) ′ = ex,ex 是ex 的原函数

 

原函数存在定理:如果函数f (x) 在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数 F (x),使对任一 x∈I 都有F′(x) = f (x)。也就是说:连续函数一定有原函数

∵                任意常数C的导数 (C) ′ = 0

∴                 ( F (x) +C ) ′ = f (x)

 

 

2.   不定积分(Indefinite Integral)

在区间I上,函数f (x) 的带有任意常数项的原函数为 F (x) 在区间I上的不定积分,记作

integra


∫ 称为积分号,f (x) 称为被积函数,f (x)dx称为被积表达式,x称为积分变量

如:

  • ∫ 2x dx = x2 + C
  • ∫ cosx dx = sinx + C
  • ∫ ex dx = ex + C

 

由于 ∫f (x)dx 是 f (x) 的原函数,所以

原函数

 

又由于F (x) ′是F (x) 的原函数,所以

积分曲线

 

函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线

 

 

3.   不定积分的性质

(1)设函数f (x) 和g (x) 的原函数存在,则

不定积分的性质

 

(2)设函数f (x)的原函数存在,k≠0,则

不定积分的性质

 

 

练习:

1. 求下列不定积分

2. 一曲线通过点(e2, 3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线方程。

3. 一物体由静止开始运动,经过 t 秒后的速度是 3t2 (m/s),问
(1) 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完 360m 需要多少时间?

 

 

不定积分的概念与性质