玄数

1.   原函数

如果在区间I上，可导函数 F (x) 的导函数为 f (x)，即

F′(x) = f (x)  或 dF (x) = f (x) dx

那么函数F (x) 就成为f (x)在区间I上的原函数。如：

• (x²) ′ = 2x，x² 是2x 的原函数
• (sin x) ′ = cos x，sin x是cos x 的原函数
• (e^x) ′ = e^x，e^x 是e^x 的原函数

原函数存在定理：如果函数f (x) 在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数 F (x)，使对任一 x∈I 都有F′(x) = f (x)。也就是说：连续函数一定有原函数。

∵                任意常数C的导数 (C) ′ = 0

∴                 ( F (x) +C ) ′ = f (x)

2.   不定积分（Indefinite Integral）

在区间I上，函数f (x) 的带有任意常数项的原函数为 F (x) 在区间I上的不定积分，记作

∫ 称为积分号，f (x) 称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。

如：

• ∫ 2x dx = x² + C
• ∫ cosx dx = sinx + C
• ∫ e^x dx = e^x + C

由于 ∫f (x)dx 是 f (x) 的原函数，所以

又由于F (x) ′是F (x) 的原函数，所以

函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线。

3.   不定积分的性质

（1）设函数f (x) 和g (x) 的原函数存在，则

（2）设函数f (x)的原函数存在，k≠0，则

练习：

1. 求下列不定积分

2. 一曲线通过点(e², 3)，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。

3. 一物体由静止开始运动，经过 t 秒后的速度是 3t² (m/s)，问
(1) 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？
(2) 物体走完 360m 需要多少时间？

 

 

不定积分的概念与性质

分类: 不定积分, 微积分 标签: 不定积分, 积分变量, 积分号, 积分曲线