无穷小、无穷大 | 玄数

2012-02-06

1.   无穷小(Infinitesimal)

如果函数 f (x) 当x→x0(或x→∞)时的极限为0,那么称函数f (x) 为当x→x0(或x→∞)时的无穷小

定理1:在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中,函数f (x) 具有极限A的充分必要条件是:f (x) = A + α,其中α是无穷小。

 

 

2.   无穷大(Infinity)

设函数f (x) 在点x0的某一去心邻域内有定义(或| x | 大于某一正数时有定义),如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只有x适合不等式 0 < | x – x0 | <δ(或 | x | > X),对应的函数值总满足 | f (x) | > M,就称函数 f (x) 为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

定理2: 在自变量的同一变化过程x→x0(或x→∞)中,如果 f (x) 为无穷大,则 1 / f (x) 为无穷小;反之,如果f (x) 为无穷小,且f (x) ≠0,则 1 / f (x) 为无穷大。

 

如:对于反比例函数

inverse function

当 x→0时,f (x) 为无穷大;当x→∞时,f (x) 为无穷小。

 

 

3.   无穷小的运算法则

(以下的α、β 是f (x) 当x→x0(或x→∞)时的无穷小)

(1). 有限个无穷小的和也是无穷小:α、β 是无穷小,则γ = α + β 也是无穷小

(2). 有界函数与无穷小的乘机也是无穷小:当x→x0(或x→∞)时, | f (x) | ≤ M,则f (x) α也是无穷小

(3). 常数与无穷小的乘积是无穷小:α 是f (x) 的无穷小,则c·α也是无穷小(c是常数)

(4). 有限个无穷小的乘积也是无穷小:α、β 是无穷小,则γ = αβ 也是无穷小

 

 

4.  无穷小的比较

(以下的α、β 是f (x) 当x→x0(或x→∞)时的无穷小)

无穷小的比较

(1) lim β/α = 0 —— β 是比 α 高阶的无穷小,记作β = o (α)

(2)lim β/α = ∞ —— β 是比 α 低阶的无穷小

(3)lim β/α = c≠0 —— β 与 α 是同阶无穷小

(4)lim β/αk = c≠0 —— β 是关于 α 的 k的无穷小

(2)lim β/α = 1 —— β 与 α 是等阶无穷小,记作α ~ β

β 与 α 是等阶无穷小的充分必要条件为:β = α + o (α)

 

 

5.  常用的等价无穷小(x→0)

sin x ~ x                                    tan x ~ x                                     1 – cos x ~ x2/2

ex – 1 ~ x                                   ln (1 + x) ~ x                               (1 + x)1/n – 1 ~ x / n

arcsin x ~ x                              arctan x ~ x

 

它们是由下面两个重要极限演变而来的

limit important

 

(1)

等价无穷小

  • 当 x = 1 时,sin 1 = 0.841, f (x) = 0.841
  • 当 x = 0.1 时,sin 0.1 = 0.0998, f (x) = 0.998
  • 当 x = 0.01 时,sin 0.01 = 0.00999983, f (x) = 0.99983

 

(2)

等价无穷小

  • 当x = 5 时, f (x) = 2.48832
  • 当x = 10 时, f (x) = 2.59347
  • 当x = 5 0时, f (x) = 2.69159
  • 当x = 100 时, f (x) = 2.70481