逆矩阵 | 玄数

2018-07-07

定义
对于n阶方阵A, 如果存在一个n阶矩阵B，使得AB = BA = E, 则称矩阵A是可逆的，并把B称为A的逆矩阵，简称逆阵，记作A-1. 这类似于实数中的逆元a-1, 其实是倒数1/a ( a≠0 ), 是除法运算。所以矩阵的逆也相似进行一种除法运算。
线性变换

若把系数矩阵A, x变量组, y变量组都用矩阵的形式写出来：
系数矩阵

可得 Y = AX

如果换做要用Y来表示X，可记作X = BY。那么X = ？Y呢，即 B = ？

Y = AX = A(BY) = AB(Y) = EY
X = BY = B(AX) = (BA)X = EX

可得  AB = BA = E, 即B = A-1.
 

如果矩阵A可逆，那么A的逆阵是唯一的。证明：假设B, C 都是的逆阵，则有

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C

 

从 aa-1 = 1 到 A A-1 = E，如何求A-1

 

 
伴随矩阵
行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij构成的矩阵再转置，得到矩阵A的伴随矩阵，记作A*.
伴随矩阵
 

矩阵A和它的伴随矩阵A*相乘，得到什么？
adjoint matrix

即
inverse matrix
 

当|A|≠0时，A称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵。矩阵A是否可逆的充分必要条件是|A|≠0.

 

推论

若AB = E或BA = E，则B = A-1

 

方阵的逆阵满足以下运算规律, 若A、B可逆(同阶矩阵)：

 

  • A-1可逆，且(A-1) -1 = A
  • k≠0, kA可逆，(kA) -1 = A-1/ k
  • AB亦可逆，且(AB) -1 = B-1 A-1
  • AT可逆，且(AT) -1 = (A-1) T
  • (Ak) -1 = (A-1) k = A-k
  • |A-1| = |A|-1

 
 

逆矩阵

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