玄数

定义
对于n阶方阵A, 如果存在一个n阶矩阵B，使得AB = BA = E, 则称矩阵A是可逆的，并把B称为A的逆矩阵，简称逆阵，记作A^-1. 这类似于实数中的逆元a^-1, 其实是倒数1/a ( a≠0 ), 是除法运算。所以矩阵的逆也相似进行一种除法运算。

若把系数矩阵A, x变量组, y变量组都用矩阵的形式写出来：

可得 Y = AX

如果换做要用Y来表示X，可记作X = BY。那么X = ？Y呢，即 B = ？

Y = AX = A(BY) = AB(Y) = EY
X = BY = B(AX) = (BA)X = EX

可得  AB = BA = E, 即B = A^-1.
 

如果矩阵A可逆，那么A的逆阵是唯一的。证明：假设B, C 都是的逆阵，则有

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C

从 aa^-1 = 1 到 A A^-1 = E，如何求A^-1

 

 
伴随矩阵
行列式|A|的各个元素的代数余子式A_ij构成的矩阵再转置，得到矩阵A的伴随矩阵，记作A*.

 

矩阵A和它的伴随矩阵A*相乘，得到什么？

即

 

当|A|≠0时，A称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵。矩阵A是否可逆的充分必要条件是|A|≠0.

推论

若AB = E或BA = E，则B = A^-1

方阵的逆阵满足以下运算规律, 若A、B可逆(同阶矩阵)：

• A^-1可逆，且(A^-1) ^-1 = A
• k≠0, kA可逆，(kA) ^-1 = A^-1/ k
• AB亦可逆，且(AB) ^-1 = B^-1 A^-1
• A^T可逆，且(A^T) ^-1 = (A^-1) ^T
• (A^k) ^-1 = (A^-1) ^k = A^-k
• |A^-1| = |A|^-1

逆矩阵

分类: 矩阵, 线性代数 标签: 伴随矩阵, 逆矩阵, 非奇异矩阵