三角函数与反三角函数(图像) | 玄数

2012-02-17

三角函数的前面加上 arc ,表示它们的反函数 f–1 (x)。即由一个三角函数值得出当时的角度。

 

1.  正弦函数 sin x, 反正弦函数 arcsin x

sinx arcsinx

  • y = sin x, x∈R, y∈[–1,1],周期为2π,函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
  • y = arcsin x, x∈[–1,1], y∈[–π/2,π/2]
  1. sin x = 0    ←→     arcsin x = 0
  2. sin x = 1/2     ←→     arcsin x = π/6
  3. sin x = √2/2    ←→     arcsin x = π/4
  4. sin x = 1    ←→     arcsin x = π/2

 

2.  余弦函数 cos x, 反余弦函数 arccos x

cosx arecosx

  • y = cos x, x∈R, y∈[–1,1],周期为2π,函数图像以 x = kπ 为对称轴
  • y = arccos x, x∈[–1,1], y∈[0,π]
  1. cos x = 0    ←→     arccos x = π/2
  2. cos x = 1/2     ←→     arccos x = π/3
  3. cos x = √2/2    ←→     arccos x = π/4
  4. cos x = 1    ←→     arccos x = 0 

 

 

3.  反正弦函数 arcsin x, 反余弦函数 arccos x

arcsinx arccosx

  • y = arcsin x 与 y = arccos x 自变量的取值范围都是 x∈[–1,1]
  • y = arcsin x 与 y = arccos x 的图像关于直线 y = π/4 对称,相交与点 (√2/2 ,π/4)

 

 

4.   正切函数 tan x, 余切函数 cot x

tanx cotx

  • y = tan x, x∈( (–π/2) + kπ, (π/2) + kπ ), y∈R,周期为π,当 x → ± (π/2) + kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞
  • y = cot x = 1 / tan x, x∈( 0,kπ ), y∈R,周期为π,当 x →  kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞
  • y = tan x 与 y = cot x 的图像关于 x =  (π/4) + kπ/2 对称
  • 在单个周期内(第一个),y = tan x 与 y = cot x 的图像相交与点 (π/4 ,1)。当 x =  (π/4) + kπ/2 时,y = tan x 与 y = cot x 函数的值都相等,等于 ±1

 

 

5.   反正切函数 arctan x, 反余切函数 arccot x

arctanx arccotx

  • y = arctan x 与 y = arccot x 自变量的取值范围都是 x∈R
  • y = arctan x 与 y = arccot x 的图像关于直线 y = π/4 对称,相交与点 (1 ,π/4)
  1. tan x = 0    ←→     arctan x = 0
  2. tan x = 1    ←→     arctan x = π/4
  3. tan x = √3    ←→     arctan x = π/6

 

6.  余割函数 csc x

cscx

  • y = csc x = 1 / sin x,x∈(0,kπ ), y∈(–∞,–1]∪[1,∞),周期为π,当 x → kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞

 

 

7.  正割函数 sec x

secx

  • y = sec x = 1 / cosn x,x∈( (–π/2) + kπ, (π/2) + kπ ), y∈(–∞,–1]∪[1,∞),周期为π,当 x → (π/2) + kπ 时,函数的极限是无穷大 ∞

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