玄数

把行列式D中的元素沿着对角线对换，得转置行列式，记作D^T.

性质1  D^T = D.

证明：



 

性质2  互换行列式的两行（列），行列式变号

证明

算式的元素相乘部分，所得结果是一致的. 现只比较逆序数τ(p₁ … p_i … p_j … p_n) 和τ(p₁ … p_j … p_i … p_n). 根据一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性，可得 D₁ = -D

 
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.

证明：互换这两行，有D = -D，可得D = 0

 

性质3  行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一系数，等于用这数乘以行列式


 

性质4  如果行列式中有两行（列）的元素成比例，则此行列式等于零

证明：


 

性质5  如果行列式的某一行（列）是两数之和，则可把它拆分成两个行列式再求和


 

性质6  把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变


 

 

练习：

1. 通过计算来验证


 
2. 计算


 

 

行列式的性质

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