国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 5


20th IMO(1978)

1. m、n都是正整数且n>m。如果1978m 和1978n的十进制表示法的末三位数字相同,试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。

 
2. P是某已知球内部一点,A、B、C是球面上三点,且有PA、PB、PC相互垂直,由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q,试求出Q点的轨迹。

 
3. 两不交集合{f(1), f(2), f(3), … }和{g(1), g(2), g(3), … }的并集是全部的正整数,其中f(1) < f(2) < f(3) < ...,g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(n) = f(f(n)) + 1对所有n=1,2,3, ...成立。试计算f(240)。
 
4. 等腰三角形ABC,AB = AC。在三角形ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆,该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点。求证:线段PQ的中点恰为三角形ABC内切圆的圆心。

 
5. 令{ak} 为互不相同的正整数数列,求证对于所有的正整数n,有
             Σak/k2 >= Σ1/k;
上式中两边的求和都是k从1到n。

 
6. 某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员,会员编号分别是1,2,…,1978。求证至少有某一会员的编号,恰为与他同国家的另外两位会员编号的和,或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。

 

 

19th IMO(1977)

1. 在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN,证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。

 
2. 在一个有限项的实数序列中,任意的相连七项之和为负,任意的相连十一项之和为正。求出这种序列最多有几项。

 
3. n>2是一给定整数,Vn 是所有1+kn形式的整数构成的集合,其中k是正整数,对于Vn 中的一个数m,如果不存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq,则称m是不可分解的。求证:Vn 中存在一数r,它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分解数的乘积。(乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。)

 
4. 定义f(x) = 1 – a cos x – b sin x – A cos 2x – B sin 2x,其中a,b,A,B都是实数常量。如果f(x)>=0对所有实数x都成立,求证
             a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1.
 
5. a,b是正整数,设a2 + b2除以a + b得到商为q,余数是r。试求出所有的正整数对(a,b)使得q2 + r = 1977。

 
6. f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数,求证如果f(n+1) > f(f(n))对所有正整数n都成立,则f(n) = n对每个n都成立。

 

 

18th IMO(1976)

1. 平面上一凸四边形的面积是32,两对边与一对角线之和为16,求另外一个对角线的所有可能的长度。

 
2. 令P1(x) = x2 – 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, …,求证对任何一个正整数n,方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。

 
3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满,如果用体积为2的正方体来尽量装填,使得每个边都与箱子的边平行,则恰能装满箱子的40%,求所有这种箱子的可能尺寸(长、宽、高)。

 
4. 试将1976分解成一些正整数之和,求这些正整数乘积的最大值,并加以证明。

 
5. n是一个正整数,m = 2n, aij = 0、1或-1 (1 <= i <= n, 1 <= j <= m)。还有m个未知数x1, x2, … , xm满足下面n个方程:
             ai1x1 + ai2x2 + … + aimxm = 0,
其中i = 1, 2, … , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数解(x1, x2, … , xm)使得|x1|<= m。
 
6. 一个序列u0, u1, u2, … 定义为:
             u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 – 2) – u1,n = 1, 2, …
求证
             [un] = 2(2n – (-1)n)/3,
其中[x]表示不大于x的最大整数。

 

 

17th IMO(1975)

1. 已知x1 >= x2 >= … >= xn, 以及y1 >= y2 >= … >= yn 都是实数,求证 若z1 ,z2 ,…,zn 是yi 的任意排列则有
             Σ(xi-yi)2 <= Σ(xi-zi)2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。

 
2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一递增正整数序列,求证对所有i>=1,存在无穷多个 an 可以写成 an = rai + saj的形式,其中r,s是正实数且j > i。

 
3. 任意三角形ABC的边上,向外作三角形ABR,BCP,CAQ,使角CBP、角CAQ都是45度,角BCP、角ACQ都是30度,角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。

 
4. 令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和,令B时A的各位数字之和,求B的各位数字之和。

 
5. 判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。

 
6. 找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足:
             I. 对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tnP(x, y)成立;
             II. 对所有实数x、y、z有P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;
             III. P(1, 0)= 1。

 

 

16th IMO(1974)

1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数,并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家,然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时,玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时,第一个玩家有筹码20个,第二个玩家有10个,第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问,在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码?

 
2. 三角形ABC,求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是
             sin A sin B <= sin2(C/2).

 
3. 试证明对任意非负整数n,下式都不能被5整除:
             Σ C(2n+1,2k+1)23k
上式中的求和是k从0到n,符号 C(r,s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!)。

 
4. 沿着一个 8×8 象棋盘(黑白相间)中的线将其分割成p个不相交的长方形,使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样,并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。求出所有可能p值中的最大值;并对这样的最大值求出所有可能的分法(即求出那些长方形的大小)。

 
5. a,b,c,d是任意实数,判定下式的所有可能值:
             a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。

 
6. 设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式,n是P(X)=1或-1的不同整根的个数,则有
             n <= d + 2.