国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 5


40th IMO(1999)

1. 试找出所有这样的有限集S:S至少包括平面上的3个点;对任何两个S中不同的点A,B,AB的垂直平分线是S的一个对称轴。

 
2. 设n ≥ 2是一个给定的整数,是找出最小的常量C使得对于所有非负实数x1, … , xn如下不等式成立:
             Σi xi xj (xi2 + xj2) ≤ C ( Σ xi )4
并判断何时等号成立。

 
3. 给定一个n×n的棋盘,n是偶数。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说他们是相邻的,但同一个方格不认为与它自身相邻。试找出最小数目的方格,使得当它们被标记之后,棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的方格相邻。

 
4. 试找出所有的正整数对(n,p),使得p是素数,n ≤ 2p并且(p-1)n+1可被np-1整除。

 
5. 圆Γ有两个内切圆Γ12,切点分别是M,N,Γ1经过Γ2的圆心。 Γ12的公共弦的延长线交Γ于A,B两点。线MA,MB分别交Γ1分别于E,F。 求证:EF于Γ2相切。

 
6. 试找出所有的函数f:R → R使得f(x-f(y)) = f(f(y))+xf(y)+f(x)-1对所有x,y ∈ R都成立。其中R表示实数集。

 

 

39th IMO(1998)

1. 凸四边形ABCD,对交线AC,BD互相垂直,对边AB,DC不平行,AB和DC的垂直平分线相交于P点,P在ABCD的内部。
求证ABCD是圆内接四边形当且仅当三角形ABP、CDP的面积相等。

 
2. 在一次竞赛中有a个参赛者和b个裁判,b≥3是一个奇数。每个裁判可以给参赛者判“合格”或者 “不合格”,假设任何两个裁判对至多k个参赛者的判决相同, 求证:k/a ≥ (b-1)/2b.

 
3. 对任何正整数n,用d(n)表示n的正因数(包括1,n)的个数。 试求出所有正整数k使存在n满足 d(n2)=kd(n).

 
4. 试找出所有的正整数对(a,b)使得ab2+b+7能整除a2b+a+b。

 
5. 设I是三角形 ABC的内心,三角形 ABC的内切圆在边BC,CA,AB上的切点分别是K,L,M。 通过B点平行于MK的直线交LM,LK分别于R,S。
求证:三角形 RIS是锐交三角形。

 
6. 考虑所有从正整数到正整数的函数f使之对于所有的s、t满足f(t2f(s))=sf(t)2。 试求出f(1998)的最小的可能值。

 

 

38th IMO(1997)

1. 在坐标平面上,具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点。这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色(像棋盘一样)。对于任意一对正整数m和n,考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标,两腰长分别为m和n,且其两腰都在这些正方格的边上。 设S1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积,S2则为所有白色部分的总面积。 令f(m,n)=|S1-S2|,
             a. 当m,n同为正偶数或者同为正奇数时,计算f(m,n);
             b. 求证f(m,n)≤max(m,n)/2对所有m,n都成立;
             c. 求证不存在常量C使得f(m,n)。

 
2. 设∠A是△ABC中最小的內角。B和C将此三角形的外接圆分成两个弧。U为落在不含A点的弧上且异于B,C的一点。线段AB,AC的垂直平分线分别交AU于V,W。 直线BV, CW相交于T,
求证:AU=TB+TC。

 
3. x1,x2,…,xn是正实数满足|x1 + x2 + …xn|=1 且对所有i有|xi|≤(n+1)/2。 试证明存在x1,x2,…,xn的一个 排列y1,y2,…,yn满足
             |y1 + 2y2 + … + nyn|≤(n+1)/2。

 
4. 一个n×n的矩阵称为一个n阶“银矩阵”,如果它的元素取自集合S={1,2,…,2n-1}且对于每一个i=1,2,…,n,它的第i列与第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素。求证:
             a. 不存在n=1997阶的银矩阵;
             b. 有无限多个n,存在n阶银矩阵。

 
5. 试找出所有的正整数对(a,b)满足
1997 IMO

 
6. 对每个正整数n,将n表示成2的非负整数次方之和,令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个数。如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同,这两个表示法就被视为是相同的。例如,f(4)=4,因为4恰有下列四种不同的表示法:4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1。
求证:对于任意整数n≥3,
1997 IMO

 

 

37th IMO(1996)

1. ABCD是一个长宽分别是AB=20,BC=12的长方形板。将此长方形板分割为20×12个格子状的单位小方格,r为一给定的正整数,一个铜币在此板上每移动一次的规则为:铜币可从一个小方格内移动到另一个小方格内的充分必要条件是这两个小方格的中点间的距离为√r。现目标是把一个在含顶点A的小方格内的铜币经过若干次移动后到达含顶点B的小方格内。
             a. 当r是2的倍数或者3的倍数时,此目标无法达成;
             b. 当r=73时,此目标可以达成;
             c. 当r=97时,问此目标能否达成?

 
2. P为△ABC内一点且∠APB-∠ACB = ∠APC-∠ABC,设D,E分别是∠APB,∠APC的内心,
求证:AP,BD,CE三线共点。

 
3. S={0,1,2,3,…}为所有非负整数所成的集合,试找出所有由S对应到S本身的函数f且对m,n∈S 有f(m+f(n)) = f(f(m))+f(n)。

 
4. 正整数a,b使得15a+16b和16a-15b都是完全平方数,试求出最小的可表示成这两个完全平方数之一的可能值。

 
5. ABCDEF是凸六边形,AB平行于ED,BC平行于FE,CD平行于AF。 令RA,RC,RE分别表示△FAB, △BCD, △DEF的外接圆的半径,并以p表示该六边形的周长。
求证:RA+RC+RE ≥ p/2。

 
6. n,p,q都是正整数且n > p+q,令x0, x1, xn都是整数,x0 = xn = 0且对每个1≤i≤n,xi – xi-1 = p或q。
求证存在下标i<j且(i,j)≠(0,n)满足xi=xj

 

 

36th IMO(1995)

1. A,B,C,D是一条直线上顺序排列的四个不同点,分别以AC,BD为直径的两个圆相交于X,Y,直线XY交BC于Z, 设P为直线XY上异于Z的一点,直线CP与以AC为直径的圆相交于C,M; 直线BP与以BD为直径的圆相交于B,N。求证:AM,DN,XY三线共点。

 
2. a,b,c为正实数且abc=1,试证:
1995 IMO - 2

 
3. 试确定所有整数n>3,使得在平面上存在n个点A1, A2 … An(无三点共线)及n个实数r1,r2,…,rn满足 △AiAjAk的面积是ri + rj + rk, 其中是对每个三元组1 ≤ i < j < k≤ n。

 
4. 正实数序列x0, x1 … x1995 满足条件 x0 = x1995且对于i=1, 2 … 1995有xi-1 + 2/xi-1 = 2xi + 1/xi. 试求出所有满足上述条件的数列中x0的最大值。

 
5. 设ABCDEF是凸六边形,满足AB=BC=CD, DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60°。 设G,H是这六边形内部两点使得∠AGB=∠DHE=120°,
求证 AG+GB+GH+DH+HE ≥ CF。

 
6. p是一个奇质数,试求出集合{1, 2 … 2p}的所有p元子集A的个数满足A中元素之和能被p整除。