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2018-06-13

矩阵
由m×n个数aij ( i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n ) 排成的m行n列数表,外加一个括弧,称为m×n矩阵, aij为矩阵A的元. 矩阵可记作A m×n 或 ( aij ) 或 ( aij ) m×n .

 

矩阵与行列式的区别:

  • 行列式外加两竖, 最终求和算出来的是一个数; 而矩阵外加括弧, 是一个数的阵列表.
  • 行列式的行数必须等于列数, 但对于矩阵, 没有这个要求.

 

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵, 可记作An. 方阵的行列式记为|A| 或 det(A).

 

只有一行的矩阵, 称为行矩阵, 或行向量:
行向量
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2018-06-08

从一般的二元方程组对应的二阶行列式二阶行列式 second order determinant

 
那是不是所有的n元线性方程组都能如此表示呢?

 
线性方程组

 
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零,即
克拉默法则
那么方程组有且仅有唯一解
Cramers Rule

证明:
线性方程组

取系数行列式D的代数余子式A11,  A12, …  A1n
Cramers Rule

这证明了充分性,还有必要性,把
Cramers Rule

代入原线性方程组,得
Cramers Rule
∴ xi(i = 0, … n) 都满足原方程组

 

 
当方程两侧的常数项b1, b2, … bn 不全为0时,方程组是非齐次线性方程组.
D ≠ 0   <—> 方程组有且仅有唯一解
D = 0   <—> 方程组无解或有多个不同的解

 
而当b1 = b2 = … = bn = 0时,方程组则称为齐次线性方程组
齐次线性方程组
D ≠ 0   <—> 齐次线性方程组只有零解
D = 0   <—> 齐次线性方程组有非零解

 

 

克拉默法则


2018-06-05

根据行列式的性质5
行列式的性质

把第1行的每个元素拆成自身与n-1个0相加,得
行列式按行展开

可见,n阶行列式可以转为n-1阶行列式与元素相乘后的求和。从高阶转向低阶,减少了运算量。
 

余子式
在n阶行列式中,把(I, j)元aij所在的行和列都划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(I, j)元aij余子式 Minor,记作Mij

Aij = (-1)i+jMij 则是代数余子式 Cofactor

 

定理  行列式等于它的任一行(列)个各元素与其对应的代数余子式乘积之和
代数余子式
 

其中最后一步的具体证明如下:
余子式
 

对于任意的第i行第j列的处理,可先把第i行往上移,一直移到第1行,然后再做列的对换,移到第1列。相应的,排列的奇偶性改变了逆序数。
余子式
 

推论  行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零
行列式等于零
 
证明: 把j行的元素替换成i行的元素,由行列式的性质2的推论可得,该行列式为0.
行列式为0
 

终上所得
行列式

 
 

余子式,行列式按行(列)展开


2018-06-03

转置行列式把行列式D中的元素沿着对角线对换,得转置行列式,记作DT.

性质1  DT = D.

证明:
转置行列式

 

性质2  互换行列式的两行(列),行列式变号

证明
Properties_of_determinants

算式的元素相乘部分,所得结果是一致的. 现只比较逆序数τ(p1 … pi … pj … pn) 和τ(p1 … pj … pi … pn). 根据一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性,可得 D1 = -D

 
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零.

证明:互换这两行,有D = -D,可得D = 0

 

性质3  行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一系数,等于用这数乘以行列式
Properties_of_determinants

 

性质4  如果行列式中有两行(列)的元素成比例,则此行列式等于零

证明:
Properties_of_determinants

 

性质5  如果行列式的某一行(列)是两数之和,则可把它拆分成两个行列式再求和
行列式的性质

 

性质6  把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数后,加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变
行列式的性质

 

 

行列式的性质


2018-06-01

逆序数

把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列Pn,共有n!种不同的排法。在任一排列中,某两个元素排列的次序是前大后小时,就产生了1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列

求逆序数有两种方法:

  1.  在前面,把比当前数大的个数累加
  2.  在后面,把比当前数小的个数累加

如:52143

第一种方法:

  • 5:第1个数,不需要计算,τ1 = 0
  • 2:前面比2大的有1个( 5 ) ,τ2 = 1
  • 1:前面比1大的有2个( 5, 2 ) ,τ3 = 2
  • 4:前面比4大的有1个( 5 ) ,τ4 = 1
  • 3:前面比3大的有2个( 5, 4) ,τ5 = 2

所以逆序总和为:τ= 0 + 1 + 2 + 1 + 2 = 6

第二种方法:

  • 5:后面比5小的有4个( 2, 1, 4, 3 ),τ1 = 4
  • 2:后面比2小的有1个( 1 ) ,τ2 = 1
  • 1:后面比1小的有0个,τ3 = 0
  • 4:后面比4小的有1个( 3 ),τ4 = 1
  • 3:最后1个数,不需要计算,τ5 = 0

所以逆序总和为:τ= 4 + 1 + 0 + 1 + 0 = 6

 

行列式

定义:把n2个数排成n行n列的数表,得n阶行列式,记作
determinants
是n! 项之和,每一项都由不同行、不同列的元素相乘得到。其中p1, p2 … pn 是自然数1,2,… n的一个排列,τ(p1, p2 … pn) 为这个排列的一个逆序数

 

跟二阶行列式与三阶行列式的不同
二阶行列式
三阶行列式

当n>3 时,不能再从图表画线得出求和表达式。如四阶行列式一共含4! = 24项。

四阶行列式

而你又能发现,每一项并非是固定的写法,元素的先后顺序可以互换,改变逆序数即可。

 

可以换成,前者的逆序数为0,偶排列;而后者的逆序数是1+1=2,也是偶排列。即a11a22a33a44 = a22a11a33a44,这符合代数运算中的乘法交换律。 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 行标从1-2-3-4对换成2-1-3-4,偶排列变为奇排列;列标也从1-2-3-4对换成2-1-3-4, 即整体的21-12-33-44对换成22-11-33-44,奇排列再变成偶排列。最后是奇偶性不变。

 

同理,可以换成,前者的逆序数是6,而后者的逆序数是0,同是偶排列。

 

最终可得:n阶行列式中的每一项中的排列,行标并非一定按照从1,2 … n的次序,行标i1, i2 … in 可以任意设定,只需求出行标排列的逆序数,以及列标排列的逆序数,两者相加,作为该项的逆序数即可。由此,n阶行列式的更一般的表示是:

n阶行列式

n阶行列式


2018-05-30

把9个数排成3行3列的数表
三阶行列式
称为三阶行列式

 
每一项都是不同行不同列的三个元素的乘积,即行标、列标中的1,2,3都不再重复。正负号遵循下图,左图取正,右图取负。
三阶行列式
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2018-05-20

一笔画图形

 

 
一笔画图形
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