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2018-04-15

级数
series

级数表


2018-03-19

梅森 Mersenne

马林·梅森(Marin Mersenne 1588 ~ 1648)  是法国大数学家笛卡尔的同学,曾致力于寻找质数公式。1644年,他提出:在形如2n – 1的式子中,存在许多质数。他曾指出以下这些数都是素数:

M2 = 22 – 1

M3 = 23 – 1

M5 = 25 – 1

M7 = 27 – 1

M13 = 213 – 1

M17 = 217 – 1

M19 = 219 – 1

M31 = 231 – 1

M67 = 267 – 1

M127 = 2127 – 1

M257 = 2257 – 1
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2018-02-14

最简单的心形表达式:r = 1 – sinθ(极坐标)
r = 1 – sinθ

这个式子还有一个来历 —— 数学家笛卡尔的爱情故事:

1649年,52岁的笛卡尔认识了18岁的瑞典公主克里斯汀。公主被笛卡尔的数学魅力折服了,于是,两人便堕入爱河。

但你说国王怎么会同意呢,必须把他们俩分开。那么公主与笛卡尔只好通过书信来维持这段爱情。在第13封信后,笛卡尔离开人世。信里就这么一个公式:r=a(1-sinθ)。克里斯汀公主依据方程画出图形,哦,是个心形,他一直爱着我。

以上的是故事,故事!

 

这条式子虽简单,但大概不会令人太过满意,因为它跟❤还差一段距离,下边过于圆满,不尖。那么怎么用不太复杂的数学函数式,来画出相对接近真实心形的图案呢?

 

(1)跟圆有点接近

圆的方程:x2 + y2 = 4

圆的方程

 

 

(2)切开只看一半:上部是鼓起、凸起的弧形,而下部是接近直线的弧形。

对圆的方程:x2 + y2 = 4 增加一项 -2xy 便可得 (x – y)2 = 4。这实际上就是 |x – y| = 2,是两条平行的直线
|x – y| = 2

把这两个图折中一下,会怎么样呢?x2 –xy + y2 = 4得到的是下面类似于椭圆的图形

类似于椭圆

 

 

(3)轴对称图形:关于y轴对称。

保留在y轴的右边部分,而删掉左边部分,然后把右边的复制到左边。如何使x2 –xy + y2 = 4 变为关于y轴对称呢?根据f(-x) = f(x),对x加上绝对值,得x2 –|x|y + y2 = 4
心形

这才真正的是个心形。但如果你不满意,可在|x|y前加一个小于2的系数,如x2 –1.3|x|y + y2 = 4,便可使图形上部更凸一些
heart-shaped

情人节快乐,怎么用函数表达式画心形


2017-12-28

如何用程序来绘制正多边形?

正多边形

如图,正五边形ABCDE关于y轴对称,B与E,C与D互为对称点。A的坐标为(0, r)。 半径OA旋转一个内角θ,便是OB,此时B的坐标为(r·sin0, r·cos0)。继续旋转,可以得到OC、OD、OE等半径,坐标求法与OB的一致,只需把对应的角度依次增加(2π/边数)。

 

编程的流程图如下:

 

algorithm regular polygon
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2017-11-15

1. 向量的点乘Dot Product(数量积,內积)(Inner Product)

(1)平面向量点乘原理

                             a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                     = x1 x2 i2 +(x1y2 + x2 y1i j + y1 y2 j2

∵                               i =(1,0),j =(0,1)

∴                               i2 =(1,0)·(1,0)= 1,

                                   j2 =(0,1)·(0,1)= 1

                                   ij =(1,0)·(0,1)=0

∴                                a · b = x1x2 + y1y2

 

在n维向量中             a · b = ∑ai·bi

两个向量的点乘 = 他们对应分量乘积的和

 

(2)几何解释
向量点乘 dot product
                                            a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                                    = (|a|cosαi + |a|sinαj) · (|b|cosβi + |b|sinβj)

.                                                    = |a|·|b|(cosαcosβ + sinαsinβ)

.                                                    = |a|·|b| cos(α-β)

 

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2017-11-14

1. 投影

(1)光学定义:用光线照射物体,在一平面上得到的影子叫做物体的投影(Projection),照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。

平行投影(Parallel Projection):由平行光线(例如太阳光)所成的投影。

中心投影(Center Projection):由点光源(比如电灯泡)发出的光线所成的投影。

平行投影

(2)向量在轴上的投影数学定义:

设点O及单位向量e决定u轴,任给向量r,作→OM = r,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M’,点M’就是点M在u轴上的投影。向量O M’称为向量r在u轴上的分向量,设→OM’ = λe,则数λ称为向量r在u轴上的投影,记作Prjur或( r )u

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2017-10-08

在《孙子算经》中的鸡兔同笼问题:“今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问:雉、兔各几何?” 设鸡有 x 只,兔有 y 只,根据x只鸡有2x只脚,y只兔又4y只脚,列二元二次方程得

孙子算经

(2) – (1) 得

鸡兔同笼

 

对于一般的方程组,设未知数的系数全互质,例如

equation

(1) 式等号两边乘以7,(2) 式等号两边乘以3,借此来消去x2

equation

(1) 式等号两边乘以5,(2) 式等号两边乘以2,借此来消去x21

equation

 

对一般二元线性方程组

记为二阶行列式 second order determinant

把在4个数中,分两组相乘再相减的数表记为二阶行列式second order determinant。 法则为主对角线 – 副对角线
记为二阶行列式 second order determinant
运用二阶行列式为解二元线性方程组带来了方便:分母记为二阶行列式 second order determinant都是相同的,把系数按原来位置排列;分子用 “=” 右边的数b1,b2替换,xi对应替换的数为a1i,a2i

二阶行列式